2021년 고3 7월 모의고사

1번 두 양수 {a , b} 가 \log_{b} a + \log_{a} b = \dfrac{26}{5} , ab = 27 을 만족시킬 때, a^{2} + b^{2} 의 값은? (단, a \ne 1 , b \ne 1 ) ① 240 ② 242 ③ 244 ④ 246 ⑤ 248 2번 삼각형 {\text{ABC}} 에서 선분 \text{BC} 의 길이가 3 이고 4 \cos^{2} \text{A}-5\sin \text{A} + 2 = 0 일 때, 삼각형 \text{ABC} 의 외접원의 반지름의 길이는? ① \dfrac{3}{2} ② 2 ③ \dfrac{5}{ 3번 수직선 위를 움직이는 점 {\text{P}} 의 시각 t ( t \ge 0 )에서의 속도 v \left(t\right) 가 v \left(t\right) = at^{2} + bt ( a , b 는 상수) 이다. 시각 t = 1 , t = 2 일 때, 점 \text{P} 의 속도 4번 다항함수 {f \left(x\right)} 가 다음 조건을 만족시킬 때, f \left(2\right) 의 값은? (단, a 는 0 이 아닌 상수이다.) (가) \lim_{x\rightarrow \infty} {} \dfrac{f \left(x\right) -ax^{2}}{2x 5번 두 양수 {a , b} 에 대하여 0 \le \log_{2} a \le 2 , 0 \le \log_{2} b \le 2 이고 \log_{2} \left(a + b\right) 가 정수일 때, 두 점 \left(4 , 2\right) 와 \left(a , b\right) 사이의 6번 모든 항이 양수인 등비수열 {\left\{a_{n}\right\}} 에 대하여 a_{1} = 2a_{4} , a_{3}^{\log_{2} 3} = 27 일 때, 집합 \{n \lvert \log_{4} a_{n} -\log_{2} \dfrac{1}{a_{n}} 은 자연수 \} 7번 실수 {k} 에 대하여 함수 f \left(x\right) = x^{3} + kx^{2} + \left(2k-1\right) x + k + 3 의 그래프가 k 의 값에 관계없이 항상 점 \text{P} 를 지난다. 곡선 y = f \left(x\right) 위의 점 \text{ 8번 자연수 {n} 과 \lim_{x\rightarrow \infty} {} \dfrac{f \left(x\right) -x^{3}}{x^{2}} = 2 인 다항함수 f \left(x\right) 에 대하여 함수 g \left(x\right) 가 g \left(x\right) = { 9번 삼차함수 {f \left(x\right)} = x^{3} + x^{2} 의 그래프 위의 두 점 \left(t , f \left(t\right)\right) 와 \left(t + 1 , f \left(t + 1\right)\right) 에서의 접선의 y 절편을 각각 g_{1} \ 10번 두 수열 {\left\{a_{n}\right\}} , \left\{b_{n}\right\} 이 a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k , b_{1} = 1 , b_{n} = b_{n-1} \times \dfrac{a_{n}}{a_{n} -1} ( n \ge 2 ) 를 11번 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 {\text{ABC}} 가 있다. 호 \text{AB} , 호 \text{BC} , 호 \text{CA} 의 길이가 각각 3 , 4 , 5 이고 삼각형 \text{ABC} 의 넓이가 S 일 때, \dfrac{\pi^{2} S}{9} 의 값은? 12번 다항함수 {f \left(x\right)} 가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 a 의 값은? (가) 모든 실수 x 에 대하여 \dfrac{d}{dx} \left\{\int_{1}^{x} {} \left(f \left(t\right) + t^{2} + 2at-3\right) dt 13번 실수 {r} = \dfrac{3}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} 에 대하여 r + r^{2} + r^{3} = a \sqrt[3]{4} + b \sqrt[3]{2} + c 일 때, a + b + c 의 값은? (단, a , b , c 는 유리수이다.) 14번 삼각형 {\text{ABC}} 에서 \angle \text{A} = \dfrac{2\pi}{3} 이고 {\overline{\text{AB}}} = 6 이다. {\overline{\text{AC}}} 와 {\overline{\text{BC}}} 의 합이 24 일 때, {\cos 15번 실수 {p} 에 대하여 곡선 y = x^{3} -x^{2} 과 직선 y = px-1 의 교점의 x 좌표 중 가장 작은 값을 m 이라 하자. m < a < b 인 모든 실수 a , b 에 대하여 \int_{a}^{b} {} \left(x^{3} -x^{2} -px + 1\righ 16번 자연수 {n} 에 대하여 곡선 y = n \sin \left(n \pi x\right) ( 0 \le x \le 1 ) 위의 점 중 y 좌표가 자연수인 점의 개수를 a_{n} 이라 할 때, \sum_{n = 1}^{10} a_{n} 의 값은? ① 340 ② 350 ③ 360 ④ 17번 자연수 {n} 에 대하여 함수 f \left(x\right) = \left\lvert x^{2} -4\right\rvert \left(x^{2} + n\right) 이 x = a 에서 극값을 갖는 a 의 개수가 4 이상일 때, f \left(x\right) 의 모든 극값의 합이 18번 실수 {t} ( 0 < t < 3 )에 대하여 삼차함수 f \left(x\right) = 2x^{3} - \left(t + 3\right) x^{2} + 2tx 가 x = a 에서 극댓값을 가질 때, 세 점 \left(0 , 0\right) , \left(a , 0\right) 19번 두 함수 {f \left(x\right)} 와 g \left(x\right) 가 f \left(x\right) = {\begin{cases}\cos x & \left(\cos x \ge \sin x\right)\\ \sin x & \left(\cos x < \sin x\righ 20번 최고차항의 계수가 {1} 인 두 이차다항식 P \left(x\right) , Q \left(x\right) 에 대하여 두 함수 f \left(x\right) = \left(x + 4\right) P \left(x\right) , g \left(x\right) = \left(x- 21번 방정식 \log_{2} (x + 4) + \log_{\frac{1}{2}} (x-4) = 1 을 만족시키는 실수 x 의 값을 구하시오. 22번 이차방정식 {x^{2} -x-1} = 0 의 두 근을 \alpha , \beta 라 하자. 수열 \left\{a_{n}\right\} 이 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n} = \dfrac{1}{2} \left(\alpha^{n} + \beta^{n}\right) 을 만족시킬 23번 최고차항의 계수가 {1} 인 이차함수 f \left(x\right) 에 대하여 함수 g \left(x\right) 는 g \left(x\right) = \int_{-1}^{x} {} f \left(t\right) dt 이다. \lim_{x\rightarrow 1} {} \dfr 24번 좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 {1} 인 원 C 와 두 점 \text{A} \left(3 , 3\right) , \text{B} \left(0 , -1\right) 이 있다. 실수 t ( 0 < t \le 4 )에 대하여 f \left(t\right) 를 25번 두 집합 {X , Y} 를 X = \{\left\{a_{n}\right\} | \left\{a_{n}\right\} 은 모든 항이 자연수인 수열이고, \log a_{n} + \log a_{n + 1} \left.= 2n\right\} , Y = \{a_{4} \left\lver